Комбинаторная задачка

Есть у нас дома такая вот безделушка (подарили на новый год):


Явно назначение этого сувенира на нём не написано, поэтому я придумал использовать его в качестве календаря: можно выставлять на нём из кубиков текущее число месяца. Думаю, что я не сильно ошибся с задумкой авторов о его применении.

Я задумался над проблемой: в этом сувенире всего два кубика, по шесть граней на каждом. Как и какие цифры нужно разместить на гранях каждого из кубиков, чтобы этими двумя кубиками можно было изобразить любое число от 1 до 31.

Для начала я записал все возможные числа (а):

а)    б)    в)    г)    д)    е)    ж)

01    01    01    01    0     00    00
02    02    02    02    11    11    11
03    03    03    03    22    22    22
04    04    04    04     3    63    43
05    05    05    05     4    74    65
06    06    06    06     5    85    78
07    07    07    07     6
08    08    08    08     7
09    09    06           8
10    01    01      
11    11    11    11
12    12    12    12
13    13    13    13
14    14    14    14
15    15    15    15
16    16    16    16
17    17    17    17
18    18    18    18
19    19    16      
20    02    02      
21    12    12      
22    22    22    22
23    23    23    23
24    24    24    24
25    25    25    25
26    26    26    26
27    27    27    27
28    28    28    28
29    29    26      
30    03    03      
31    13    13      

а)    б)    в)    г)    д)    е)    ж)

Поскольку для чисел вида xy и yx нужны одни и те же цифры, я перевёл все числа в "нормализованную форму": отсортировал цифры каждого из чисел в порядке возрастания (б).

Можно ещё заметить, что цифры 6 и 9 совпадают по начертанию. Поэтому заменим все 9 на 6 (в).

Теперь вычеркнем все повторяющиеся числа (г).

Наконец, составим список цифр, которые должны присутствовать в каждом из столбцов (д).

Поскольку в правом столбце 8 цифр, то две из них неминуемо придётся перенести в левый столбец. Но если любые две цифры просто перенести в левый столбец, тогда их нельзя будет использовать совместно с нулём. Поэтому добавляем в правый столбец ноль и переносим в левый столбец три цифры (е).

Нанеся на грани первого кубика цифры 0, 1, 2, 6, 7 и 8, а на грани второго - цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, мы сможем с помощью двух кубиков изобразить любое число от 1 до 31.

Теперь сравним результат нашего вывода с реальными кубиками в сувенире. На первом кубике имеются цифры 0, 1, 2, 4, 6, 7, а на втором - 0, 1, 2, 3, 5, 8 (ж). Фактически, вариантов размещения цифр на кубиках много: шесть цифр (3, 4, 5, 6, 7, 8) на двух кубиках можно разместить произвольным образом.

Возьмём 3 произвольных цифры из 6, которые будут нанесены на три грани одного кубика, грани на оставшемся кубике будут помечены оставшимися тремя цифрами. Порядок размещения каждой из цифр нас не интересует, поэтому общее количество комбинаций будет равно количеству сочетаний C(n, m) = n! / (m! (n - m)!) или C(6, 3) = 6! / (3! (6 - 3)!) = 2*3*4*5*6 / (2*3*(2*3)) = 2*3*4*5*6 / 2*3*6 = 4 * 5 = 20. Двадцать способов нанести шесть цифр на 3 грани каждого из двух кубиков.

Вот эти 20 вариантов:
1. 345 678
2. 346 578
3. 347 568
4. 348 567
5. 356 478
6. 357 468
7. 358 467
8. 367 458
9. 368 457
10. 378 456
11. 456 378
12. 457 368
13. 458 367
14. 467 358
15. 468 357
16. 478 356
17. 567 348
18. 568 347
19. 578 346
20. 678 345

Можно заметить, что пары 1 и 20 симметричны, а стало быть одинаковы. Точно так же симметричны пары 2 и 19. Таким образом на самом деле вариантов кубиков всего 10:
1. 345 678
2. 346 578
3. 347 568
4. 348 567
5. 356 478
6. 357 468
7. 358 467
8. 367 458
9. 368 457
10. 378 456

Я выбрал первый вариант, а на имеющихся кубиках был использован вариант под номером 6. Этот вариант отличается от всех прочих тем, что на одном кубике используются нечётные цифры (3, 5, 7), а на другом - чётные (4, 6, 8).